Autores e Biografia

Vieira, Vandenberg Lopes (Autor)

Sumário

Sumário Lista de Símbolos 1 Propriedades Elementares dos Inteiros 29 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2 Uma Fundamentação Axiomática dos Inteiros . . . . . . . . 34 1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4 Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.1 Princípio da Boa Ordenação . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.2 Princípio de Indução Finita . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.6 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 Divisibilidade e T´tópicos Relacionados 67 2.1 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.1 O Algoritmo da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3 Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.1 Alguns Critérios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . 88 2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.5 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum . . . . 96 2.5.1 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.5.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.5.3 Máximo Divisor Comum de Mais de Dois Inteiros . . 109 2.5.4 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.5.5 Mínimo Múltiplo Comum de Mais de Dois Inteiros . . 113 2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3 Números Primos 119 3.1 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . 119 3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3 O Crivo de Erastóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.3.1 Fatoração de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.3.2 Fatoração Canônica de n! . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.5 As Funções t (n) e s(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.7 Um Pouco sobre a Distribuição dos Primos . . . . . . . . . . 153 3.7.1 A Infinidade dos Primos . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.7.2 A Função p(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.7.3 Números Primos e Polinômios . . . . . . . . . . . . . 162 3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4 Congruências 167 4.1 Propriedades Básicas das Congruências . . . . . . . . . . . . 167 4.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.3 Congruências Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.3.1 Sistemas de Congruências Lineares . . . . . . . . . . 187 4.3.2 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . . . . 192 4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 4.5 O Conjunto Quociente Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5 Alguns Números Especiais 213 5.1 Números Poligonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.1.1 Números Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.1.2 Números Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.2 Números de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.3 Números de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.5 Números de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5.6 Números de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.7 Números Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 5.8 N´úmeros Amigáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6 Os Teoremas de Wilson, Fermat e Euler 251 6.1 O Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.3 O Pequeno Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 256 6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.5 O Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 6.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 7 Funções Aritméticas 279 7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.2 Funções Multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.3 Função µ de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 7.4 A Fórmula de Inversão de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 8 Ordens e Raízes Primitivas 305 8.1 Ordem de um Inteiro Módulo m . . . . . . . . . . . . . . . . 305 8.2 Raízes Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 8.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 8.4 Caracterização dos Inteiros que têm Raízes Primitivas . . . . 317 8.4.1 Raízes Primitivas de Primos . . . . . . . . . . . . . . 318 8.4.2 Raízes Primitivas de Números Compostos . . . . . . 325 8.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 8.6 ´Índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 2.5.4 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.5.5 Mínimo Múltiplo Comum de Mais de Dois Inteiros . . 113 2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3 N´úmeros Primos 119 3.1 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . 119 3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3 O Crivo de Erastóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.3.1 Fatoração de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.3.2 Fatoração Canônica de n! . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.5 As Funções t (n) e s(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.7 Um Pouco sobre a Distribuição dos Primos . . . . . . . . . . 153 3.7.1 A Infinidade dos Primos . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.7.2 A Função p(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.7.3 Números Primos e Polinômios . . . . . . . . . . . . . 162 3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4 Congruências 167 4.1 Propriedades Básicas das Congruências . . . . . . . . . . . . 167 4.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.3 Congruências Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.3.1 Sistemas de Congruências Lineares . . . . . . . . . . 187 4.3.2 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . . . . 192 4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 4.5 O Conjunto Quociente Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5 Alguns Números Especiais 213 5.1 N´úmeros Poligonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.1.1 Números Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.1.2 Números Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.2 Números de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.3 Números de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.5 Números de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5.6 Números de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.7 Números Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 5.8 Números Amigáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6 Os Teoremas de Wilson, Fermat e Euler 251 6.1 O Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.3 O Pequeno Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 256 6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.5 O Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 6.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 7 Funções Aritméticas 279 7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.2 Funções Multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.3 Função µ de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 7.4 A Fórmula de Inversão de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 8 Ordens e Raízes Primitivas 305 8.1 Ordem de um Inteiro Módulo m . . . . . . . . . . . . . . . . 305 8.2 Raízes Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 8.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 8.4 Caracterização dos Inteiros que têm Raízes Primitivas . . . . 317 8.4.1 Raízes Primitivas de Primos . . . . . . . . . . . . . . 318 8.4.2 Raízes Primitivas de N´úmeros Compostos . . . . . . 325 8.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 8.6 ´Índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.6.1 Aplicação de ´Índices `a Solução de Congruências . . . 343 8.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 9 Resíduos Quadráticos e a Reciprocidade Quadrática 355 9.1 Resíduos Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 9.2 Símbolo de Legendre e o Critério de Euler . . . . . . . . . . 363 9.3 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 9.4 Lei da Reciprocidade Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . 371 9.5 Símbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 9.6 Congruências Quadráticas com Módulo Composto . . . . . . 400 9.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 10 Equações Diofantinas 409 10.1 A Equação a1x + a2y + a3z = b . . . . . . . . . . . . . . . . 410 10.2 Equação Pitagórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 10.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 10.4 Outras Equações Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 10.5 A Descida Infinita de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 10.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 10.7 Equação de Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 10.8 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 11 Representação de Inteiros como Soma de Quadrados 445 11.1 Soma de Dois Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 11.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 11.3 Soma de Mais do que Dois Quadrados . . . . . . . . . . . . 460 11.3.1 Soma de Três Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 460 11.3.2 Soma de Quatro Quadrados . . . . . . . . . . . . . . 465 11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 12 Frações Contínuas 479 12.1 Frações Contínuas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 12.1.1 Frações Contínuas Finitas e Equações Diofantinas Lineares. . . . . . . . . . . . 491 12.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 12.3 Frações Contínuas Infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 12.3.1 Frações Contínuas Periódicas . . . . . . . . . . . . . 502 12.3.2 Método Clássico para Determinar [a0; a1, a2,...] que Converge para a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 12.3.3 Convergentes como as Melhores Aproximações . . . . 512 12.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 A Relações de Equivalência 523 A.1 Conjunto Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 A.2 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 A.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 Respostas para os Exercícios Selecionados 539 Índice Remissivo 557 8.6.1 Aplicação de Índices `a Solução de Congruências . . . 343 8.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 9 Resíduos Quadráticos e a Reciprocidade Quadrática 355 9.1 Resíduos Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 9.2 Símbolo de Legendre e o Critério de Euler . . . . . . . . . . 363 9.3 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 9.4 Lei da Reciprocidade Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . 371 9.5 Símbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 9.6 Congruências Quadráticas com M´módulo Composto . . . . . . 400 9.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 10 Equações Diofantinas 409 10.1 A Equação a1x + a2y + a3z = b . . . . . . . . . . . . . . . . 410 10.2 Equação Pitagórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 10.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 10.4 Outras Equações Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 10.5 A Descida Infinita de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 10.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 10.7 Equação de Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 10.8 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 11 Representação de Inteiros como Soma de Quadrados 445 11.1 Soma de Dois Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 11.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 11.3 Soma de Mais do que Dois Quadrados . . . . . . . . . . . . 460 11.3.1 Soma de Três Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 460 11.3.2 Soma de Quatro Quadrados . . . . . . . . . . . . . . 465 11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 12 Frações Contínuas 479 12.1 Frações Contínuas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 12.1.1 Frações Contínuas Finitas e Equações Diofantinas Lineares. . . . . . . . . . . . . . . . 491 12.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 12.3 Frações Contínuas Infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 12.3.1 Frações Contínuas Periódicas . . . . . . . . . . . . . 502 12.3.2 Método Clássico para Determinar [a0; a1, a2,...] que Converge para a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 12.3.3 Convergentes como as Melhores Aproximações . . . . 512 12.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 A Relações de Equivalência 523 A.1 Conjunto Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 A.2 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 A.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 Respostas para os Exercícios Selecionados 539 ´Índice Remissivo 557